Agora veremos como encontrar frações que representam o mesmo que números como ou , onde as partes decimais não terminam, mas são repetidas periodicamente.
Para isso temos um método simples que você deve seguir passo a passo. Usaremos o exemplo
Passo 1: Reescrever o número
Escrevemos o número com a notação resumida com a traço na parte decimal. Neste caso, em vez de escrever escrevemos: .
Passo 2: O numerador
O numerador da fração será o número decimal escrito sem a vírgula e sem a barra, menos sua parte inteira.
Passo 3: O denominador
O denominador será um número com a mesma quantidade de noves que tem os decimais do número original.
Como tem dois dígitos periódicos na sua parte decimal, o e o devem ser colocados dois noves como denominador. Lembre-se que o número é sempre usado nesta etapa.
Passo 4: Realizar as operações
Agora é subtraído e simplificado: nesta ocasião deve ser feita a subtração: , obtendo a fração . Ao simplificar isso, chegamos ao resultado .
Se você fizer a divisão , encontrará que seu resultado é Isso significa que .
Outro exemplo
Veja outro exemplo interessante: vamos encontrar uma fração que represente o decimal
Passo 1:
O número é escrito com a notação de barra:
Passo 2:
O numerador será o número escrito sem vírgula e sem barra, menos a parte inteira do mesmo número. Lembre-se que .
Passo 3:
O denominador terá a mesma quantidade de noves que as dízimas periódicas que tem o número original. Nesse caso, há apenas uma dízima periódica, portanto, o denominador terá apenas um nove.
Passo 4:
Para terminar fazemos a subtração e a simplificação. Ao simplificar a fração , obtemos o resultado .
Observe o procedimento completo na imagem abaixo:
Isso significa que . Não lhe parece surpreendente que um zero seguido por infinitos noves seja o mesmo que ?
Pense da seguinte forma: se dois números são diferentes, é possível colocar outros números entre eles. Por exemplo, entre e é possível localizar o e muitos outros, mas quais números podem estar entre e ?
Para localizar o temos que considerar nove décimos, nove centésimos, nove milésimos, nove dez milésimos, etc., etc., etc. E cada vez estaremos mais perto da posição ocupada pelo um. Isto significa que pode ser qualquer número entre e . Assim: .
